PGCD calculatrice
Le PGCD de deux nombres est le plus grand qui les divise tous les deux sans reste. La calculatrice ci-dessus fait les divisions ; la méthode d'Euclide dit lesquelles enchaîner.
12 × 12 = 144
Adding 12 to itself 12 times gives the same answer.
L’algorithme d’Euclide
On divise le plus grand par le plus petit, on garde le reste, et on recommence avec le diviseur et ce reste. Le PGCD est le dernier reste non nul.
- 180 ÷ 48 = 3, reste 36.
- 48 ÷ 36 = 1, reste 12.
- 36 ÷ 12 = 3, reste 0.
Le dernier reste non nul est 12 : PGCD(48, 180) = 12. La méthode se termine toujours, et en peu d’étapes, même sur de grands nombres.
Par les facteurs premiers
Décomposez les deux nombres, puis gardez les facteurs communs avec le plus petit exposant. 48 = 2⁴ × 3 et 180 = 2² × 3² × 5 ; les facteurs communs sont 2² et 3, donc 4 × 3 = 12. Cette voie est plus lente, mais elle donne le PPCM dans la foulée.
Le PPCM au passage
Pour deux nombres, PGCD × PPCM = produit des deux nombres. Ici 48 × 180 = 8 640, et 8 640 ÷ 12 = 720, donc le PPCM vaut 720. Une division suffit une fois le PGCD trouvé.
À quoi il sert vraiment
À simplifier une fraction en une seule fois. 48/180 divisé haut et bas par 12 donne 4/15, forme irréductible. Diviser par un diviseur commun quelconque marche aussi, mais il faut alors recommencer plusieurs fois.
Quand le résultat semble faux
- Un PGCD plus grand que le plus petit des deux nombres est impossible : il divise les deux.
- Un PGCD de 1 est un résultat normal, les deux nombres sont simplement premiers entre eux.
- Ne confondez pas le reste et le quotient : c’est le reste qui repart au tour suivant.
Pour simplifier ensuite la fraction obtenue, voir calcul de fractions. Les autres outils sont réunis sur la page calculatrices.